Matematiikan luonteesta
Lukijaa saattaa yllättää että olen törmännyt useamman kerran luennoilla pohdintoihin matematiikan luonteesta. Vielä suurempi yllätys varmasti on, että en ole edes harhautunut pois luennon aiheesta: “Yhteiskuntatieteet ja argumentaatio” on kiintoisa kurssi monestakin syystä.
Pohtikaamme hetki aksiomaattista järjestelmää esimerkiksi kunnassa tai Euklidisen geometrian aksioomia. Miten nämä aksioomat ovat muotoutuneet? Luennolla esitettiin seuraava – ehkä matemaatikkoja loukkaava – ajatusmalli: aksioomat on perustelu havaituista teoreemista ja käytännöstä ja ne on sitten joku muotoillut järkevästi. Kuitenkin tämä malli perustelisi sen, miksi suurin osa aksioomista joihin normaalisti törmää on aika järkeviä (mitä, voidaanko kaksi pistettä aina yhdistää janalla?).
Kuitenkin esitetty malli myös loukkaa matemaattista ajatusmaailmaa; oletetaan jotain ja sen avulla todistetaan se. Tämä suunta on luonnollisesti päättelemistä. Oikeastaan tässä havaitaan jo kaksi perussuuntaa kaikissa tieteissä teorioiden ja päättelyn välillä: teorioista voidaan päätellä havaintoja ja havainnoilla voidaan perustella teorioita. Oikeastaan aivan puhtaimmillaan matematiikassa kadotettaisiin kaikki yhteydet reaaliseen maailmaan ja leijuttaisiin omalla (imagnääri)pilvellä – oletetaan aksioomat vain annettuina.
Toisaalta matematiikkan erityistä asemaa tieteen kentässä kuvaa se että siinä oletukset on saatu oikeasti kirjoitettua ylös aksioomiksi. Muissa tieteissä tämä voisi olla hienoa (oletetaan pyöreä lehmä, johon ei vaikuta ilmanvastus ja joka leijuu kaksi metriä maan pinnan yläpuolella) jos niissä niissä olevista kirjaamattomista olettamuksista päästäisiin sopimukseen. Mutta, kuinkakohan pitkä teoskin olisi “Poliittisen toiminnan aksioomat”-teos, joten ehkä unohdamme yhteiskuntatieteen aksiomisoinnin.
Toisaalta tilastotieteen luennolla luonnehdittiin matemaatikkoja seuraavasti:
Niiättehän ne matemaatikot, ne on aina etsimässä vastaesimerkkiä.
Oikeastaan, sen verran mitä lukiossa osasin matematiikkaa muistan aina että vastaesimerkit on kivoja: yksi vastaesimerkki voi kaataa koko teorian ja riittää siis todistukseksi – paljon vaikeampaa ainakin minulle oli muotoilla oikeasti toimiva todistus johonkin.
No, jottei teksti menisi liian matemaattiseksi niin otetaan vähän puhtia filosofiasta. Olen pyrkinyt blogissani tarjoamaan näkökantoja siihen mitä me opiskelemme valtiotieteellisesssä tiedekunnassa – nyt voisin kertoa päättelysäännöistä:
- Deduktio vastaa normaalia implikaatiota, tehdään oletus ja pätevän päättelyn avulla saavutetaan johtopäätös.
- Induktio vastaa matemaattisen induktion ajatusperinnettä: yleistämme väitteen koskemaan kaikkia sopivalla tavalla.
- Abduktio on ehkä kiinnostavin päättelysääntö, se on tavallaan implikaatio toiseen suuntaan: Jos tiedämme että kun on lämmin niin jäätelöä myydään ja havaitsemme että jäätelöä yllättävää kyllä myydään, voimme päätellä että luultavasti on lämmintä.
Näillä kolmella päättelysäännöllä tulisi ainakin tämän kurssin laajuudessa perustelemaan kaikki; täsmällisesti vain ensimmäinen päättely on sitova toisen ja kolmannen ollessa todennäköisyystodistelua ja tätä kautta epäsitovia. Mutta, ainakin päättely on pitkälle matematiikkaa; viime luennolla ihmettelimme miksi epätodesta saa seurata ihan mitä tahansa loogisen totuusarvotalukon mukaan.